初學物理 的學生或許 都會有這樣的問題：
為何 物理學 一直在談 彈簧與單擺等 簡諧運動。
簡諧運動有什麼重要呢？還是 因為他們 簡單且數學上有完整的解。
首先談談 什麼是 簡諧運動：
考慮 物體不受力 處於 某個平衡位置。
當物體受到 外界影響，使物體離開平衡位置時，
凡是 物體所受的作用力 與 物體的位移 成正比，
且作用力方向與位移方向相反時，
簡單的說 作用力 F = - k X ( X 為物體的位移）。
則 物體的運動會是 簡諧運動。
數學上 我們可以完整的解出 簡諧運動 的 運動方程式 (改寫如下)
F = m a = m d2X/dt2 = - k X
d2X/dt2 = - (k/m) X = - ω2 X ， ω2 = k/m
其解可以 是 X = Xo sin (ωt +φ)，其中 φ 為 一角度（相角）。
| Xo | 為物體最大位移（彈簧最大 壓縮/伸張量）
以彈簧而言： k 為 彈性係數。ω 的數值由 彈性係數 k 與 質量 m 決定。
Xo 與 φ 則由 彈簧的初始條件決定。（例如：t = 0 時 的位移 與速度）
由於速度 V 是 位移隨時間的變化率
V = Xo ω cos (ωt +φ)
物體在 外力作用下 儲存的位能 U = -∫ F • d X = -∫ -kX • d X = (1/2) k X2
物體的動能 K = (1/2) m V2
物體的總機械能 E = U + K = (1/2) k X2 + (1/2) m V2
= (1/2) k X2o sin2(ωt +φ) + (1/2) mω2 X2o cos2 (ωt +φ)
= (1/2) k X2o ( ∵ k = mω2 且 sin2θ+ cos2θ= 1 )
若是你想要討論實際彈簧又受到 阻力 或 強迫振盪 的情形，請參考 彈簧與力
物體在 彈簧作用下儲存的位能為 (1/2) k X2 ，動能為 (1/2) m V2
物體的總機械能 E = (1/2) k X2 + (1/2) m V2 = 常數
因此 若將上式 微分 則
dE/dt =0. ， dK/dt = k X dX/dt = k X V， dU/dt = m V dV/dt = m V a
則 0 = k X V + m V a
∴ F = m a = - k X 回到 作用力的方程式
加以推廣：我們說 當 物體的位能 與 U(X)= a X2 時 (a>0) 便會是 簡諧運動。
讓我介紹 一下 最厲害的數學式：泰勒展開式
對任一 x 為參數的函數 f(x) 可以表示為
f(x) = f(xo) + (1/1!) f'(xo) (x-xo) + (1/2!) f''(xo) (x-xo)2 + (1/3!) f'''(xo) (x-xo)3 + ...（高次項）
上式中 f', f'', f''' 等為 f 函數的一次，二次與三次微分。
上面這個式子 初看之下，好像也沒有什麼特殊。但是只細想一想。
上面的式子 說：
只要我知道 一個函數 f 在 xo 點的函數值，一次微分的函數值，二次微分的函數值，
三次微分的函數值...（無窮多項） 等 ，（ xo 是 任意的一點）
我可以得到 這個函數在 宇宙 任一角落處 得函數值。（ x 也是 任意的一點）
而且 這個函數 可以是 任何函數，例如：密度，溫度，壓力 ... 等。
也就是說 如果我知道 空間中某處（實驗室）的溫度，溫度隨空間的一次微分，
溫度隨空間的二次微分，溫度隨空間的三次微分 ... （在同一點的值）
則我可以知道 遠在太陽系外某一點的溫度。（真厲害！）
只是 唯一的缺點是（也是不可能辦到的）必須知道 溫度隨空間的任意次微分的值。
但是 可以辦得到的是 溫度隨空間的最初幾次微分的數值。
則 利用上式（泰勒展開式）時，只要 x 離開 xo 不很遠 則仍然可以使用。
（當 x-xo 較小時，高階項可以忽略）
我們若將 泰勒展開式 用在物體的 位能上，則 位能
U(x) = U(xo) + (1/1!) U'(xo) (x-xo) + (1/2!) U''(xo) (x-xo)2 + (1/3!) U'''(xo) (x-xo)3 + ...
當物體處於平衡位置 xo（不受力）時，
U'(xo) = dU/dx | x=xo = - F(x)| x=xo = 0.
F= - dU/dx 式的意思：( 力 是 位能隨空間的變化量）
可由 U = -∫ F • d X 反推（微分）
因此 U'(xo)=0. 而 位能的參考點 U(xo) 可以任選，設其為零。
則 離開平衡位置 U(x) = (1/2!) U''(xo) (x-xo)2 + (1/3!) U'''(xo) (x-xo)3 + ...
若取 x 離平衡位置不遠，則 U(x) = (1/2!) U''(xo) (x-xo)2
也就是說 任何東西在離開平衡位置附近很近時，其位能皆為位移平方的形式。
任何的物體 在穩定平衡點 (U''(xo)>0) 上，受到擾動做微小位移時
其運動 都會是 簡諧運動。
樹葉受風輕吹時，車子碰到小石塊時，橋樑受大貨車壓過時，...
自然界的物體到處可見 簡諧運動的出現。
你說 簡諧運動 重不重要呢？
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